मान लीजिए f: [2, 5] to [2, 5] एक बाइजेक्टिव फ | vedclass

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Question

(D) हम प्रतिलोम फलनों के लिए निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$.दि

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$21$

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(D) हम प्रतिलोम फलनों के लिए निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$.दिया गया है कि $f: [2, 5] 	o [2, 5]$ एक बाइजेक्शन है,इसलिए $f(2) = 2$ और $f(5) = 5$ होगा (क्योंकि प्रतिलोम का अवकलज धनात्मक है,इसलिए $f$ एक वर्धमान फलन है)।अतः,समाकल $\int_{2}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{5} f^{-1}(x) dx$ हो जाता है।$a = 2$ और $b = 5$ के साथ सूत्र का उपयोग करने पर:$\int_{2}^{5} f(x) dx + \int_{f(2)}^{f(5)} f^{-1}(x) dx = 5 \cdot f(5) - 2 \cdot f(2)$.$f(5) = 5$ और $f(2) = 2$ मान रखने पर:$= 5(5) - 2(2) = 25 - 4 = 21$.

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यदि समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2$ का मान है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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